Synthesis of Nonlinear Control using Sum of Squares and Semi-definite Programming
Translated title
Syntese af ikke-lineær kontrol ved hjælp af sum of squares og semidefinite programmering
Author
Misra, Rahul
Term
4. term
Education
Publication year
2019
Submitted on
2019-06-06
Pages
79
Abstract
Denne afhandling udvikler en metode til at designe stabiliserende styrelove for ikke-lineære systemer ved hjælp af Lyapunov-funktioner—energiliknende funktioner, der kan dokumentere stabilitet og bruges i regulator-design. For at gøre den svære opgave med at finde en Lyapunov-funktion håndterbar, søger vi i klassen af Sum-af-Kvadrater (SOS) polynomier. Derved omdannes problemet til et semidefinit program (SDP), en type konveks optimering, som kan løses med standardsoftware. Vi anvender resultater fra algebraisk geometri, især Putinars Positivstellensatz, til at begrænse søgningen til semialgebraiske mængder (områder defineret af polynomielle uligheder). En væsentlig begrænsning er skalerbarhed: Når antallet af tilstande vokser, vokser SDP'ets størrelse polynomielt med antallet af tilstande og eksponentielt med polynomiets grad, hvilket gør beregningerne tunge. For at afhjælpe dette bruger vi en sparsom version af Putinars Positivstellensatz, som udnytter problemets struktur. Som eksempler finder vi først Lyapunov-funktioner for Van der Pols ikke-lineære oscillator og derefter for mere komplekse modeller af en vindmølle og Ørsted-satellitten. Til sidst anvender vi de fundne Lyapunov-funktioner til at afprøve metoder til ikke-lineær styring, herunder Sontags formel og Lyapunov-redesign.
This thesis develops a way to design stabilizing control laws for nonlinear systems using Lyapunov functions—energy-like functions that certify stability and guide controller design. To make the hard task of finding a Lyapunov function tractable, we search within the class of Sum of Squares (SOS) polynomials. This turns the problem into a semidefinite program (SDP), a type of convex optimization solvable by standard software. We use results from algebraic geometry, in particular Putinar’s Positivstellensatz, to restrict the search to semialgebraic sets (regions defined by polynomial inequalities). A key limitation is scalability: as the number of states increases, the SDP size grows polynomially with the number of states and exponentially with the polynomial degree, making computation costly. To mitigate this, we apply a sparse version of Putinar’s Positivstellensatz that exploits problem structure. As case studies, we first compute Lyapunov functions for the Van der Pol nonlinear oscillator, then for more complex models of a wind turbine and the Ørsted satellite. Finally, using the obtained Lyapunov functions, we explore nonlinear control design methods, including Sontag’s formula and Lyapunov redesign.
[This abstract was generated with the help of AI]
Documents