Statistical Modelling of Equal Risk Portfolio Optimization with Emphasis on Projection Methods

Statistisk Modellering af Equal Risk Portefølje Optimering med Fokus på Projektionsmetoder

Neumann, Sabrina

4. term

Mathematics, Master

2015

2015-06-10

118

Specialet undersøger aktivallokeringsstrategier, der bygger på risikofaktorer fremfor traditionelle opdelinger i aktivklasser. Udgangspunktet er, at klassiske mean-variance modeller (fx Markowitz) ikke fanger de ekstreme tab, der kan opstå i perioder med høj volatilitet, såsom finanskrisen 2008–2009. For at sætte de risiko-baserede modeller ind i en økonomisk ramme gives en kort introduktion til faktorbaserede modeller som Capital Asset Pricing Model, Arbitrage Pricing Theory og Fama-Frenchs trefaktormodel. For at identificere underliggende risikofaktorer anvendes principal component analysis (PCA), som komprimerer mange aktiver til færre, overordnede faktorer. Derudover betragtes en funktionel variant, functional principal component analysis (FPCA), hvor man antager, at data følger glatte forløb over tid. Her estimeres egenfunktioner i stedet for statiske egenvektorer. Til FPCA omdannes tidsserier til glatte funktioner med B-splines og udglattes med en penalized weighted least squares metode for at forbedre signal-støj-forholdet. Den funktionelle tilgang kan i princippet også håndtere aktiver med forskellige samplefrekvenser i samme portefølje. Analysen fokuserer især på Equal Risk strategien. Den kan opfattes på to måder: enten som en optimering, der sætter porteføljevægtene, så hvert aktiv bidrager lige meget til den samlede risiko, eller som en optimering, der vælger vægte, så standardafvigelserne i PCA-retningerne bliver så ens som muligt. Strategien sammenlignes med fast allokering, en Equally-Weighted strategi og den traditionelle Minimum Variance strategi. Strategierne evalueres i en backtest på historiske afkast med rullende estimationsvinduer af forskellig længde. Short-selling er ikke tilladt. Testen dækker tre porteføljer med flere aktivklasser og forskelligt antal aktiver. Resultaterne viser, at både længden af estimationsvinduet og selve porteføljesammensætningen påvirker det opnåede afkast. Der lægges særlig vægt på at undersøge effekten af at udelade nogle principal komponenter, dvs. at arbejde med færre risikofaktorer. Effekten er ikke entydig på tværs af porteføljer, men i én portefølje kan afkastet øges ved at bruge færre komponenter. Backtesten indikerer, at Equally-Weighted ofte har højere afkast end de andre strategier i normale perioder, men klarer sig dårligt under finanskrisen. Nogle af de risiko-baserede strategier er mere stabile i krisetider, hvilket taler for deres anvendelse. Den funktionelle tilgang overgår ikke de andre risiko-baserede strategier under krisen, men giver i visse porteføljer attraktive afkast i mere normale markeder. Generelt har de risiko-baserede strategier lavere afkastvolatilitet end Equally-Weighted, hvilket er vigtigt for mange investorer.

This thesis examines asset allocation strategies based on risk factors rather than traditional asset classes. The motivation is that classic mean–variance models (e.g., Markowitz) do not capture extreme downside risk during high-volatility periods, such as the 2008–2009 financial crisis. To frame the risk-based approach, the thesis introduces key factor models: the Capital Asset Pricing Model, the Arbitrage Pricing Theory, and the Fama–French three-factor model. To uncover underlying risk factors, the study uses principal component analysis (PCA), which compresses many assets into a smaller set of broad factors. It also considers a functional variant, functional principal component analysis (FPCA), which assumes the data follow smooth trajectories over time. FPCA estimates eigenfunctions rather than static eigenvectors. Implementing FPCA involves turning time series into smooth functions using B-splines and applying a penalized weighted least squares method to improve the signal-to-noise ratio. In principle, the functional approach can also handle assets sampled at different frequencies within one portfolio. The analysis focuses on the Equal Risk strategy. It is viewed in two ways: as choosing portfolio weights so that each asset contributes equally to total risk, or as choosing weights so that a PCA of historical returns yields similar standard deviations along the principal-component directions. The strategy is compared with fixed allocation, an Equally-Weighted portfolio, and the traditional Minimum Variance strategy. The strategies are evaluated in a backtest on historical returns using rolling estimation windows of varying length. Short-selling is not allowed. The backtest covers three portfolios with multiple asset classes and different numbers of assets. Results show that both the window length and the portfolio composition affect performance. Particular attention is given to omitting some principal components, i.e., using fewer risk factors. The effect is not uniform across portfolios, but in one portfolio returns increase when fewer components are used. The backtest indicates that the Equally-Weighted strategy often delivers higher returns than the others in normal periods but performs poorly during the financial crisis. Some risk-based strategies remain more stable in crises, which supports their use. The functional approach does not outperform the other risk-based strategies during the crisis, but in certain portfolio setups it provides attractive returns in normal markets. In general, risk-based strategies have lower return volatility than Equally-Weighted, an important feature for many investors.

[This abstract was generated with the help of AI]

Download
View record in AAU Student Projects