Singular Integral Operators on Matrix-weighted L^p Spaces
Author
Aaen, Anders
Term
4. term
Education
Publication year
2009
Pages
71
Abstract
This thesis investigates when classical singular integral operators of convolution type remain bounded on weighted Lp spaces in a vector-valued setting. The aim is to extend known weighted inequalities from scalar-weighted to matrix-weighted spaces. We introduce matrix weights and the associated spaces Lp(W) for vector functions, formulate a matrix version of the Muckenhoupt Ap condition, and provide several alternative characterizations of the Ap class. The main result shows that the vector-valued operator acting componentwise, sending f = (f1, …, fd) to (T f1, …, T fd), is bounded on Lp(W) whenever W is an Ap matrix weight. With an additional assumption on the kernel of T, a converse also holds: if the operator is bounded on Lp(W), then W must be an Ap weight. The analysis relies on maximal functions (including weighted and dyadic variants), interpolation, and standard truncation techniques for integrals, with the Riesz transforms serving as a motivating example.
Denne afhandling undersøger, hvornår klassiske singularintegraloperatorer af konvolutionstype er begrænsede på vægtede Lp-rum i en vektorværdig ramme. Målet er at udvide kendte vægtede uligheder fra skalarvægtede rum til matrixvægtede rum. Vi introducerer matrixvægte og de tilhørende rum Lp(W) for vektorfunktioner, opstiller en matrixudgave af Muckenhoupts Ap-betingelse og giver flere alternative karakteriseringer af Ap-klassen. Hovedresultatet viser, at den vektorværdige operator, der virker komponentvist ved at sende f = (f1, …, fd) til (T f1, …, T fd), er begrænset på Lp(W), når W er en Ap-matrixvægt. Med en ekstra antagelse om kernen for T fås også den omvendte retning: hvis operatoren er begrænset på Lp(W), så er W nødvendigvis en Ap-vægt. Analysen bygger på maksimalfunktioner (herunder vægtede og dyadiske varianter), interpolation samt standardteknikker til truncering af integraler, med Riesz-transformerne som motiverende eksempel.
[This apstract has been generated with the help of AI directly from the project full text]