Set- and Measure-indexed Random Fields and the De Wijs Process

Mængde- og Målindekserede Stokastiske Funktioner og De Wijs Processen

Jensen, Ib Thorsgaard

4. term

Mathematics, Master

2020

82

Denne afhandling undersøger De Wijs-processen, en geostatistisk model for rumlig afhængighed, og dens udvidelse med hvid støj (WWN). Vi gennemgår baggrund om generaliserede funktioner og stokastiske processer indekseret ved testfunktioner, Borel-mængder og mål—matematiske måder at indeksere et stokastisk felt ved regioner eller vægte frem for enkeltpunkter. Vi beskriver estimation med restricted maximum likelihood (REML) for WWN-processen, konstruerer kovariansmatricer for relevante kontraster og anvender metoden på data. Vi analyserer et jorddatasæt fra Barro Colorado Island med målinger af 19 mineraler. Vi introducerer variogrammet som et mål for rumlig variation og skitserer kriging (optimal lineær prædiktion) for sætmængde-indekserede stokastiske felter. Vi tilpasser WWN-processen til hvert mineral og vurderer prædiktionsevnen med 10-fold krydsvalidering (data deles i ti dele, som på skift holdes ude). For alle mineraler giver WWN-modellen bedre forudsigelser end at bruge stikprøvemidlet. For alle undtagen ét mineral overgår den også et intrinsisk stokastisk felt af orden 0 med polynomiel generaliseret kovarians. Når vi kun ser på målinger på et regelmæssigt gitter, passer enklere power- eller eksponentielle modeller bedre for nogle få mineraler end WWN-processen. Resultaterne tyder på, at Peter McCullaghs foreslåede "loi du terroir" ikke gælder for skovjordsdata i denne sammenhæng.

This thesis studies the De Wijs process, a geostatistical model for spatial dependence, and its extension with white noise (WWN). We present background on generalized functions and on stochastic processes indexed by test functions, Borel sets, and measures—mathematical ways to index a random field by regions or weights rather than single points. We detail restricted maximum likelihood (REML) estimation for the WWN process, construct covariance matrices for relevant contrasts, and apply the method to data. We analyze a soil dataset from Barro Colorado Island with measurements of 19 minerals. We introduce the variogram as a summary of spatial variability and outline kriging (optimal linear prediction) for set-indexed random fields. We fit the WWN process to each mineral and evaluate predictive performance using 10-fold cross-validation (splitting the data into ten parts and rotating the holdout). Across all minerals, the WWN model predicts better than using the sample mean. For all but one mineral, it also outperforms an intrinsic random field of order 0 with polynomial generalized covariance. When restricting to observations on a regular grid, a few minerals are better fit by simpler power or exponential models than by the WWN process. These results suggest that Peter McCullagh’s proposed "loi du terroir" does not extend to forest soil data in this setting.

[This abstract was generated with the help of AI]

statistik ; geostatistik ; REML ; R ; De Wijs ; Stokatstisk process ; Mål ; Indeksmængder ; Kolmogorov

Download
View record in AAU Student Projects