Fluid Dynamics From a Theoretical and Numerical Point of View

Fluiddynamik fra et teoretisk og numerisk synspunkt

Folden, Tobias Simonsen

4. term

Mathematics, Master

2022

2022-06-03

27

Dette speciale undersøger, hvordan en blanding af to ukomprimerbare væsker med forskellig viskositet (tykkelse) og tæthed (vægtfylde) bevæger sig i et lodret, pladeformet område. Først opstiller vi ligningerne for bevarelse af impuls og masse i denne situation. For at beregne omtrentlige hastigheder og tryk over tid bruger vi en totrins numerisk procedure: Vi forudsiger en foreløbig hastighed ud fra den forrige hastighed og det forrige tryk ved hjælp af finite differenser, og beregner derefter en trykkorrektion, som både opdaterer trykfeltet og justerer hastigheden, så den er divergensfri (dvs. opfylder ukomprimerbarheden). Med værktøjer fra funktionsanalyse viser vi eksistens og entydighed af de tilhørende variationsproblemer og etablerer konvergens af et passende finit-volumen-skema. Til sidst implementerer vi metoden i software og kører simuleringer for at undersøge, hvordan blandingen udvikler sig, især om den kan nå en ligevægt, hvor væskerne er fuldstændigt adskilt, med den ene helt oven på den anden.

This thesis studies how a mixture of two incompressible fluids with different viscosities (thickness) and densities (heaviness) moves inside a vertical, slab-shaped region. We first set out the equations expressing conservation of momentum and mass for this setting. To compute approximate velocities and pressures over time, we use a two-step numerical procedure: we predict a tentative velocity from the previous velocity and pressure using finite differences, and then compute a pressure correction that both updates the pressure field and adjusts the velocity so that it is divergence-free (i.e., preserves incompressibility). Using tools from functional analysis, we prove existence and uniqueness for the associated variational problems and establish convergence of a suitable finite volume scheme. Finally, we implement the method in software and run simulations to examine how the mixture evolves, in particular whether it can reach an equilibrium in which the two fluids are completely separated, with one lying entirely on top of the other.

[This summary has been rewritten with the help of AI based on the project's original abstract]

Download
View record in AAU Student Projects