Construction of the real number system and the cardinality of number systems

Thiilborg, Daniel Mose

4. semester

Matematik, Kandidat

2016

118

Denne specialeafhandling undersøger, hvordan det reelle talsystem kan konstrueres ud fra Peanos aksiomer for de naturlige tal. Først opbygges det naturlige talsystem med efterfølgerfunktionen, isomorfibegrebet og en velordning, og der udvikles binære operatorer som addition, multiplikation og potens samt en ordningsrelation. Herefter udvides konstruktionen til heltal og rationale tal, hvor operatorer og ordning videreføres. Det påvises, at de rationale tal har “huller” i form af irrationelle tal og derfor hverken er ordens- eller Cauchy-fuldstændige. Afhandlingen præsenterer to klassiske metoder til at udfylde disse huller og dermed konstruere de reelle tal: Dedekinds snit og Cantors metode via Cauchy-følger. Det vises, at disse metoder giver samme (unikke) reelle talsystem, som opfylder både ordensfuldstændighed og Cauchy-fuldstændighed. Afslutningsvis introduceres kardinalitet, og det demonstreres, at de naturlige tal, heltal og rationale tal er tælleligt uendelige, mens de reelle tal er overtælleligt uendelige.

This thesis investigates how the real number system can be constructed from Peano’s axioms for the natural numbers. It first builds the natural numbers using the successor function, the notion of isomorphism, and a well-ordering, and develops binary operations such as addition, multiplication, and exponentiation together with an order relation. The construction is then extended to the integers and the rational numbers, carrying over the operations and order. It is shown that the rationals have “gaps” corresponding to irrational numbers and therefore are neither order-complete nor Cauchy-complete. The thesis presents two classical ways to fill these gaps and construct the real numbers: Dedekind cuts and Cantor’s approach via Cauchy sequences. These methods are shown to yield the same (unique) real number system, which satisfies both order completeness and Cauchy completeness. Finally, the concept of cardinality is introduced to demonstrate that the natural, integer, and rational number systems are countably infinite, whereas the real numbers are uncountably infinite.

[Dette resumé er genereret med hjælp fra AI direkte fra projektet fuldtekst]

Download PDF
Vis denne rapport i AAU Studenterprojekter

Thiilborg, Daniel Mose:

• Construction of the real number system and the cardinality of number systems (2016)