Konstruktion af det reelle talsystem og kadinaliteten af talsystemer

Construction of the real number system and the cardinality of number systems

Thiilborg, Daniel Mose

4. semester

Matematik, Kandidat

2016

119

Afhandlingen undersøger, hvordan man fra Peanos fem aksiomer for de naturlige tal kan opbygge et fuldstændigt ordnet og Cauchy-fuldstændigt talsystem, nemlig de reelle tal. Først konstrueres det naturlige talsystem og dets grundlæggende binære operatorer og ordning, hvorefter systemet udvides til heltal og videre til de rationelle tal. Det diskuteres, hvorfor det rationelle talsystem ikke er fuldstændigt, idet der findes irrationelle huller på tallinjen. Dernæst gives to konstruktioner af de reelle tal ud fra de rationelle: Dedekinds metode med snit og Cantors metode via Cauchy-følger; det vises, at begge fører til det samme reelle talsystem, som opfylder både ordens- og Cauchy-fuldstændighed. Afslutningsvis introduceres kardinalitet for at sammenligne størrelsen af talsystemerne, og det vises, at ℕ, ℤ og ℚ er tælleligt uendelige, mens ℝ er overtælleligt uendelig.

This thesis explains how to construct a fully ordered and Cauchy-complete number system—the real numbers—starting from Peano's five axioms for the natural numbers. It first builds the natural numbers together with basic binary operations and an order, then extends the system to the integers and further to the rationals. The limitations of the rational numbers are discussed, highlighting the presence of irrational gaps on the number line and the resulting lack of completeness. Two constructions of the real numbers from the rationals are then presented: Dedekind's method via cuts and Cantor's method via Cauchy sequences; both are shown to yield the same real number system, which satisfies order and Cauchy completeness. Finally, the thesis introduces cardinality to compare the sizes of these number systems, showing that ℕ, ℤ, and ℚ are countably infinite, whereas ℝ is uncountably infinite.

[Dette resumé er genereret med hjælp fra AI direkte fra projektet (PDF)]

Download
Vis denne rapport i AAU Studenterprojekter

Thiilborg, Daniel Mose:

• Construction of the real number system and the cardinality of number systems (2016)