Weyl Representation on Bosonic Fock Spaces
Author
Seidenfaden, Magnus Grønborg
Term
4. term
Education
Publication year
2026
Submitted on
2026-06-12
Abstract
This thesis studies linear operators on bosonic Fock spaces, which are mathematical structures used to describe quantum systems with many particles. The setting throughout is an L^2 space, i.e., a space of square-integrable functions (functions whose squared values can be integrated, roughly corresponding to finite energy). In the first chapter, we develop the necessary theory of unbounded linear operators, meaning operators that are not restricted in size. Using this framework, we prove Stone's Theorem, which links certain continuous families of operators (strongly continuous one-parameter unitary groups) to their generators on a complex Hilbert space, a central concept in functional analysis. The second chapter focuses on Fock spaces in detail. We first construct both the bosonic and fermionic Fock spaces over an L^2 space. We then identify several subsets that are total (dense) in these Fock spaces, meaning they can be used to approximate any element in the spaces. With these constructions in place, we prove the existence of the Weyl operator on the bosonic Fock space. Using Stone's Theorem, we subsequently construct a number of useful operators on the bosonic Fock space. Finally, we apply all the previously developed theory to systematically build the creation and annihilation operators on the bosonic Fock space, which are fundamental tools in the mathematical description of quantum fields.
Dette speciale handler om lineære operatorer på bosoniske Fock-rum, som er en matematisk konstruktion brugt til at beskrive kvantemekaniske systemer med mange partikler. Vi arbejder hele tiden over et såkaldt L^2-rum, som er et rum af funktioner, hvor kvadratet kan integreres (kort sagt: funktioner med endelig energi). I første kapitel gennemgår vi den nødvendige teori om ubundne lineære operatorer, dvs. operatorer, der ikke er begrænsede i størrelse. Med denne teori beviser vi Stones sætning, som beskriver sammenhængen mellem visse kontinuerte families af operatorer (en-parameter-unitære grupper) og deres generatorer på et komplekst Hilbert-rum, et centralt begreb i funktionalanalyse. I andet kapitel introducerer vi Fock-rum i detaljer. Vi konstruerer først både det bosoniske og det fermioniske Fock-rum over et L^2-rum. Derefter beskriver vi flere delmængder, som er tætte i disse Fock-rum, dvs. som kan bruges til at approximere alle elementer i rummene. Når disse rum er på plads, beviser vi, at Weyl-operatoren eksisterer på det bosoniske Fock-rum. Ved hjælp af Stones sætning konstruerer vi dernæst en række nyttige operatorer på det bosoniske Fock-rum. Til sidst bruger vi hele den udviklede teori til systematisk at opbygge de såkaldte skabe- og tilintetgørelsesoperatorer på det bosoniske Fock-rum, som spiller en central rolle i den matematiske beskrivelse af kvantefelter.
[This abstract has been rewritten with the help of AI based on the project's original abstract]
Keywords