The Search For Function Fields With Many Rational Places

Christensen, Kasper Halbak

4. term

Mathematics, Master

2017

2017-06-09

59 pages

Det overordnede tema for dette projekt er algebraiske funktionslegemer. Mere specifikt er der lagt fokus på at udlede en metode til at kategorisere funktionslegemer ved hjælp af Gröbner baser med visse egenskaber. Indledningsvist gennemgås noget generelt teori omkring kommutativ algebra, algebraiske funktionslegemer og Gröbner baser, som der anvendes i projektet. Efter dette introduceres begreberne ordens- og vægtfunktioner og velfungerende baser på en algebra over et legeme. Det vises, at eksistensen ordensfunktioner og velfungerende baser medfører eksistensen af hinanden. Dette bruges så til at stille nødvendige og tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en vægt funktion ved hjælp af Gröbner baser med specielle egenskaber. Det vises derefter, at eksistensen af en ikke-triviel vægtfunktion på en algebra medfører, at brøklegemet for algebraen er et funktionslegeme, og omvendt. Yderligere, gælder der i dette tilfælde, at vægtfunktionen kan udvides til en valuation og at algebraen er en speciel type delalgebra af funktionslegemet. Dette betyder altså, at ethvert funktionslegeme kan beskrives ved hjælp af Gröbner baser. Det vises, hvordan disse Gröbner baser kan konstrueres, og der gives en måde at tælle antallet af rationelle places af et funktionslegeme, hvis Gröbner basis konstruktionen er givet. I sidste kapitel udføres eksperimenter som gør brug af teorien der er vist i projektet. Resultaterne bruges blandt andet til at lede efter funktionslegmer som der har så mangle rationelle places som muligt, givet forskellige parametre for funktionslegemet. For at vurdere dataen bruges Geil-Matsumoto grænsen, Hasse-Weil grænsen og Serre grænsen.

The general theme of this thesis is algebraic function fields. In particular, a focus is put on methods for describing algebraic function fields and their properties using the theory of Gröbner bases. Some necessary basic results on function fields, Gröbner bases and commutative algebra are covered in the first chapter, and the following chapter derives the results in question. Specifically, it is shown that any function field can be described as an ideal that has a Gröber basis with certain properties. Furthermore, an algorithm for constructing ideals of this kind is given, and way to compute the number of rational places of a function field is proven. The last chapter is devoted to experiments using the theory of the second chapter, and are the first of their kind.

Funktionslegemer ; algebra ; Gröbner baser ; Ordensfunktioner ; Vægtfunktioner ; Ordens område

Download
View record in AAU Student Projects