The Search For Function Fields With Many Rational Places
Translated title
Søgen Efter Funktionslegemer med Mange Rationelle Places
Author
Christensen, Kasper Halbak
Term
4. term
Education
Publication year
2017
Submitted on
2017-06-09
Pages
59
Abstract
Dette speciale undersøger algebraiske funktionslegemer—matematiske systemer, der opstår fra funktioner defineret af polynomielle ligninger. Det fokuserer på at beskrive disse objekter og deres egenskaber ved hjælp af Gröbner-baser, et værktøj fra kommutativ algebra til at arbejde systematisk med polynomielle ligninger. Første kapitel gennemgår den nødvendige baggrund om funktionslegemer, Gröbner-baser og kommutativ algebra. Det næste kapitel præsenterer hovedresultaterne. Her vises, at ethvert funktionslegeme kan beskrives som et ideal (en samling polynomier, der koder ligningerne) med en Gröbner-basis, der opfylder bestemte egenskaber. Der gives også en algoritme til at konstruere sådanne idealer, og der bevises en metode til at beregne antallet af rationelle steder (særlige punkter) i et funktionslegeme. Det sidste kapitel er viet til eksperimenter, der bygger på teorien fra andet kapitel, og som er de første af deres slags.
This thesis studies algebraic function fields—mathematical systems that arise from functions defined by polynomial equations. It focuses on describing these objects and their properties using Gröbner bases, a method from commutative algebra for working systematically with polynomial equations. The first chapter introduces the necessary background on function fields, Gröbner bases, and commutative algebra. The next chapter develops the main results. It shows that any function field can be represented by an ideal (a collection of polynomials that encodes the equations) that has a Gröbner basis with specific properties. It also provides an algorithm to construct such ideals and proves a method for computing the number of rational places (certain special points) of a function field. The final chapter presents experiments based on this theory, which are the first of their kind.
[This abstract was generated with the help of AI]
Keywords
Documents