Separabilitet og Graden af Entanglement for Endelig Dimensionale Hilbertrum: med fokus på C2⊗C2 og C2⊗C3
Oversat titel
Separability and the Degree og Entanglement for Finite Dimansional Hilbert Spaces: with focus on C2⊗C2 and C2⊗C3
Forfattere
Hansen, Dennis ; Ottesen, Alexander Bjørn
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2013
Afleveret
2013-05-28
Antal sider
60
Abstract
Dette speciale giver en matematisk beskrivelse af sammenfiltring (entanglement) i kvantesystemer. Fokus er på, hvornår tilstande er separable (kan beskrives som uafhængige) og på, hvordan graden af entanglement kan kvantificeres, især i endeligt-dimensionale tilfælde som C^2⊗C^2 og C^2⊗C^3. Først gennemgås de nødvendige begreber: tensorproduktet af Hilbertrum (måden at beskrive sammensatte systemer), tæthedsmatricer (matricer der repræsenterer kvantetilstande) og selve definitionen af entanglement. Dernæst præsenteres kriterier, der kan afgøre, om en tilstand er separabel og dermed også, om den er entanglet. For de særlige tilfælde C^2⊗C^2 og C^2⊗C^3 findes et enkelt kriterium: hvis en tilstand har positiv partiel transponering (PPT), så er den separabel. Herefter behandles, hvordan mål for entanglement kan konstrueres, først ud fra praktiske hensyn og dernæst via en aksiomatisk tilgang. Det vises, at to mål—entanglement-omkostningen (hvor meget entanglement der kræves for at skabe en tilstand) og entanglement-destilleringen (hvor meget entanglement der kan udvindes)—fungerer som grænser for entanglement-mål. Afslutningsvis vises gennemregnede eksempler, der illustrerer, hvordan resultaterne kan anvendes på fysiske tilstande.
This thesis develops a mathematical description of entanglement in quantum systems. The focus is on when states are separable (can be described as independent) and on how to quantify the degree of entanglement, with an emphasis on finite-dimensional cases, especially C^2⊗C^2 and C^2⊗C^3. We begin by introducing key concepts: the tensor product of Hilbert spaces (how to represent composite systems), density matrices (matrices that represent quantum states), and the definition of entanglement. We then present criteria for determining whether a state is separable and therefore whether it is entangled. For the special cases C^2⊗C^2 and C^2⊗C^3 there is a simple criterion: if a state has a positive partial transpose (PPT), then it is separable. Next, we examine how to construct entanglement measures, first guided by practical considerations and then through an axiomatic approach. It is shown that two measures—entanglement cost (how much entanglement is needed to create a state) and entanglement distillation (how much entanglement can be extracted)—act as bounds for entanglement measures. Finally, worked examples demonstrate how the results apply to physical states.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]
Emneord