Pseudospektrer og normvurderinger

Pseudospectra and norm bounds

Iversen, Lars V. ; Jensen, Dan V. ; Sandau, Ove L.

4. semester

Matematik, Kandidat

2009

112

Afhandlingen undersøger, hvordan normen ||p_n(A)|| udvikler sig, når p_n er et polynomium af grad n og A er en begrænset operator (en matematisk regel, der virker på et rum). Vi ser både på faste n og den asymptotiske adfærd for store n. Som del af dette beviser vi Kreiss' matrixsætning og flere generaliseringer. Sætningen knytter følsomheden af en matrix over for små forstyrrelser til stabilitet, og den bruges til at forstå sammenhængen mellem følsomhed og stabilitet i analyser af numeriske metoder og dynamiske systemer. Arbejdet bygger på kompleks funktionsteori. Dunford-kalkulen (en metode til at anvende komplekse funktioner på operatorer i Hilbertrum) bruges til at forbinde teori om komplekse funktioner med lineær algebra. Udvidelserne af Kreiss' sætning kræver Faberpolynomier, som er tæt knyttet til Riemanns afbildningssætning, og vi beviser en række relevante resultater fra kompleks funktionsteori. Vi undersøger også pseudospektrer for matricer. Pseudospektret beskriver, hvordan egenværdier kan flytte sig under små perturbationer, og det hænger sammen med operatorers og dynamiske systemers opførsel. Som eksempel ser vi på differentialoperatorer, diskretiseret med spektrale differentieringsmetoder, herunder Chebyshev-differentiationsmatricer. Vi beskriver dele af teorien, viser forskellige egenskaber, og implementerer metoderne i Maple og MATLAB for at studere deres pseudospektrer. Endelig gennemgår vi teori og eksempler på numerisk bestemmelse af den pseudospektrale abscisse (den højre grænse for pseudospektret) ved hjælp af criss-cross-algoritmer, der bygger på singulære værdier og hamiltonske matricer (en klasse af strukturerede matricer).

This thesis studies how the norm ||p_n(A)|| behaves when p_n is a polynomial of degree n and A is a bounded operator (a rule acting on a space). We consider both fixed n and the asymptotic behavior as n grows. As part of this, we prove Kreiss's matrix theorem and several generalizations. The theorem links how sensitive a matrix is to small perturbations with stability, and it is used to relate sensitivity and stability in analyses of numerical methods and dynamical systems. The work is grounded in complex analysis. The Dunford functional calculus (a way to apply complex functions to operators in Hilbert spaces) is used to connect complex function theory with linear algebra. Extending Kreiss's theorem requires Faber polynomials, which are closely related to the Riemann mapping theorem, and we prove a number of relevant results from complex analysis. We also investigate pseudospectra of matrices. The pseudospectrum describes how eigenvalues can shift under small perturbations and relates to the behavior of operators and dynamical systems. As an example, we study differential operators discretized by spectral differentiation methods, including Chebyshev differentiation matrices. We present parts of the theory, show various properties, and implement the methods in Maple and MATLAB to examine their pseudospectra. Finally, we review theory and examples for numerically computing the pseudospectral abscissa (the rightmost boundary of the pseudospectrum) using criss-cross algorithms, which rely on singular values and Hamiltonian matrices (a class of structured matrices).

[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]

Download
Vis denne rapport i AAU Studenterprojekter