Optimisation of Composite Structures Using Lamination Parameters in a Finite Element Application
Authors
Sørensen, René ; Kann, Jesper
Term
4. term
Education
Publication year
2011
Submitted on
2011-06-01
Pages
92
Abstract
Denne kandidatafhandling handler om matematisk optimering af kompositstrukturer. Den præsenterer en ny metode, der adresserer den ikke-konvekse natur, som ofte opstår ved optimering af kompositter modelleret med finitte elementer (FEM). Først gives den nødvendige teori: en kort introduktion til skalteori og de formuleringer, der skal til for at indarbejde den i FEM, herunder den geometriske beskrivelse og sammenhængen mellem deformation og bevægelse (strain-displacement). På den baggrund gennemføres lagvis tykkelsesintegration for at beregne stivheden i laminater, og der udledes en eksplicit tykkelsesintegration, som bygger på små approksimationer af elementets Jacobian (geometrisk kortlægning). Der præsenteres også en tilnærmet, eksplicit tykkelsesintegration. Materialelovene omformuleres ved hjælp af lamina-invarianter, så lamineringsparametre indgår, under antagelse af at alle lag er af samme materiale, men med forskellige fiberorienteringer. Sammen med den eksplicitte tykkelsesintegration medfører det, at elementets stivhedsmatrix bliver lineær i lamineringsparametrene. Disse omformuleringer verificeres numerisk og viser høj nøjagtighed, og den eksplicitte integration er især effektiv for laminater med mange lag. Ud fra teorien udvikles en optimeringsmetode med fokus på maksimal stivhed ved at minimere compliance (et mål for eftergivelighed; lavere compliance er mere stift). Med den eksplicitte integration kan de nødvendige følsomheder beregnes analytisk, hvilket bekræftes numerisk. Metoden benytter en patch-kompatibel parameterisering, hvor lamineringsparametre spiller en central rolle. For at håndtere ikke-konveksitet undersøges både realiserbarhed og konveksitet. Optimering direkte i lamineringsparametre gør energien konveks, men gør det svært at sikre, at resultatet kan realiseres som en konkret lagopbygning. Derfor fastholdes fiberorienteringer som designvariable, og der udvikles en robust totrinsmetode, inspireret af tidligere totrinsmetoder. Metoden omfatter en identifikationsfase, hvor en funktion baseret på lokal linearisering minimeres med en genetisk algoritme. Den er implementeret i MUST og kan skifte mellem forskellige antal lamineringsparametre i identifikationen samt mellem en fuld og en tilnærmet variant. Metoden testes på tre akademiske eksempler: en indspændt bjælke med udstrakt last, en plan plade med jævnt overtryk og en klemt halvkugle med forskellige forhold mellem krumning og tykkelse. Eksemplerne viser, at metoden ofte kan identificere løsninger, der kommer forbi lokale minima. Succes afhænger af, at der er markant flere designvariable end lamineringsparametre. Resultaterne peger også på, at designvariable let låser sig ved grænserne af designrummet. Derudover afprøves metoden på et mere industrielt eksempel: et generisk hovedbærende element i en vindmøllevinge. Her viser resultaterne, at metoden kan anvendes på store strukturer, og de ligger tæt på forventningerne, med mindre afvigelser som kan forklares af patch-opdeling og meget små effekter, der ikke fanges numerisk. Endelig tyder det stærkt på, at efterbehandling af det optimerede design er nødvendig, da det ofte indeholder detaljer, som ikke kan fremstilles eller er upraktiske. Tidsforbruget til efterbehandling kan reduceres ved at indbygge fremstillingsbegrænsninger direkte i de numeriske optimeringsrutiner.
This Master’s thesis focuses on mathematical optimization of composite structures and introduces a new method that tackles the non-convex nature often seen when optimizing composites modeled with finite elements (FEM). The thesis first presents the necessary theory: a brief overview of shell theory and the formulations needed to incorporate it into FEM, including geometric representation and the relation between deformation and motion (strain-displacement). Based on this, layer-wise thickness integration is used to compute laminate stiffness, and an explicit thickness integration is derived, relying on small approximations of the element Jacobian (the geometric mapping). An approximate explicit thickness integration is also presented. The constitutive relations are reformulated using lamina invariants so that lamination parameters are included, assuming all layers are made of the same material but have different fiber orientations. Combined with explicit thickness integration, this makes the element stiffness matrix linear in the lamination parameters. These reformulations are verified numerically and show good accuracy, and explicit integration is especially efficient for laminates with many layers. Building on this theory, a new optimization method is developed to maximize stiffness by minimizing compliance (a measure of flexibility; lower compliance means higher stiffness). With explicit integration, the required sensitivities can be computed analytically and are validated numerically. The optimization uses a patch-compatible parameterization where lamination parameters play a key role. To address non-convexity, both feasibility and convexity are examined. Optimizing directly in lamination parameters yields a convex strain energy but makes it hard to guarantee that the result can be realized as an actual stacking sequence. Therefore, fiber orientations are kept as design variables, and a robust two-step method is proposed, inspired by earlier two-step approaches. The method includes an identification phase where a function based on local linearization is minimized using a genetic algorithm. It is implemented in MUST and supports switching between different numbers of lamination parameters in the identification, as well as between a full and an approximate variant. The method is tested on three academic examples: a cantilever beam with a distributed load, a flat plate under uniform pressure and a pinched hemisphere with varying curvature-to-thickness ratios. These examples show that the method can often identify solutions that overcome local minima. Success depends on having substantially more design variables than lamination parameters. The results also indicate that design variables tend to get stuck at the bounds of the design space. An additional industrial test is carried out on a generic main spar from a wind turbine blade. The results show that the method can be applied to large structures and are close to expectations, with small differences explained by patch breakdown and effects too small to capture numerically. Finally, there is a strong indication that post-processing of the optimized design is necessary, because it often contains features that are not manufacturable or are impractical. The time spent on post-processing can be reduced by incorporating manufacturing constraints directly into the numerical optimization routines.
[This abstract was generated with the help of AI]
Keywords
Documents