On bounding the number of rational places of function fields
Translated title
Om grænser på antallet af rationale places af funktionslegemer
Author
Jensen, Kristian Skafte
Term
4. term
Education
Publication year
2022
Submitted on
2022-06-03
Pages
51
Abstract
This thesis explores algebraic function fields over finite fields and asks: how many rational places (points defined over the base field) can such fields have? We first introduce the basic tools: places, valuations, divisors, and Riemann-Roch spaces. We also define Weierstrass semigroups and explain how they relate to function fields. We then present and assess five bounds for the number of rational places. Our starting point is the classical Hasse-Weil bound, which is improved by Serre. When more information about the function field is available, we examine the Lewittes and Geil-Matsumoto bounds; the latter is further generalized by Beelen and Ruano. Finally, we apply the bounds to several families of function fields with known properties and compare the results using examples.
Dette speciale undersøger algebraiske funktionslegemer over endelige legemer og spørger: hvor mange rationale steder (punkter defineret over basislegemet) kan sådanne legemer have? Først introducerer vi de grundlæggende værktøjer: steder, valueringer, divisorer og Riemann-Roch-rum. Vi definerer også Weierstrass-semigrupper og forklarer, hvordan de knytter sig til funktionslegemer. Derefter præsenterer og vurderer vi fem grænser for antallet af rationale steder. Udgangspunktet er den klassiske Hasse-Weil-grænse, som forbedres af Serre. Når der er mere viden om funktionslegemet, undersøger vi Lewittes- og Geil-Matsumoto-grænsen; den sidste generaliseres yderligere af Beelen og Ruano. Til sidst anvender vi grænserne på flere familier af funktionslegemer med kendte egenskaber og sammenligner resultaterne ved hjælp af eksempler.
[This apstract has been rewritten with the help of AI based on the project's original abstract]
Keywords