'Non-linear approximation with bases in Triebel-Lizorkin and Besov spaces'
Authors
Berthelsen, Henry ; Rasmussen, Kenneth N.
Term
4. term
Education
Publication year
2006
Abstract
Denne afhandling undersøger, hvordan man repræsenterer funktioner og distributioner (generaliserede funktioner) ved hjælp af fleksible byggesten. Vi giver tilstrækkelige betingelser for, at et dekompositionssystem, der er konstrueret til L2(R^d) (de kvadratintegrable funktioner), også fungerer for Triebel–Lizorkin- og Besov-rum, som er standardrammer til at måle glathed. Vi etablerer desuden en normækvivalens, der gør det muligt at afgøre medlemskab af disse rum ved at analysere størrelsen af koefficienterne i en udvidelse. Særlig viser vi, at et velopført biortogonalt bølgeletsystem udgør en ubetinget basis for Triebel–Lizorkin- og Besov-rum. Herefter anvender vi ikke-lineær n-leds-approksimation på disse baser og beskriver fuldstændigt de tilhørende approksimationsrum i form af interpolationsrum via Jackson- og Bernstein-uligheder. For mere generelle dekompositionssystemer opnår vi fortsat en Jackson-ulighed, hvilket indebærer, at det tilsvarende interpolationsrum er indlejret i approksimationsrummet. Endelig giver vi en konstruktiv metode til at opbygge en ubetinget basis for Triebel–Lizorkin- og Besov-rum ved en endelig linearkombination af translationer og skaleringer (shifts og dilates) af en enkelt funktion med tilstrækkelig glathed og aftagende størrelse og uden forsvindende momenter. Anvendes n-leds-approksimation på disse translationer og skaleringer, etableres igen en Jackson-ulighed.
This thesis studies how to represent functions and distributions (generalized functions) using flexible building blocks. We provide sufficient conditions under which a decomposition system designed for L2(R^d) (square‑integrable functions) also works for Triebel–Lizorkin and Besov spaces, which are standard frameworks for measuring smoothness. We further prove a norm equivalence that allows one to decide membership in these spaces by inspecting the size of the expansion coefficients. In particular, we show that a well‑behaved biorthogonal wavelet system forms an unconditional basis for Triebel–Lizorkin and Besov spaces. We then apply nonlinear n‑term approximation to these bases and give a complete description of the resulting approximation spaces in terms of interpolation spaces, expressed through Jackson and Bernstein inequalities. For more general decomposition systems we still obtain a Jackson inequality, implying that the corresponding interpolation space is embedded in the approximation space. Finally, we present a constructive method to build an unconditional basis for Triebel–Lizorkin and Besov spaces from a finite linear combination of shifts and dilates of a single function with sufficient smoothness and decay and with no vanishing moments. Applying n‑term approximation to these shifts and dilates again yields a Jackson inequality.
[This abstract was generated with the help of AI]
Documents