Kontinuerte grænser på diskrete Schrödinger-operatorer på et kvadratisk gitter
Oversat titel
Continuous limits of discrete Schrödinger operators on a square lattice
Forfattere
Kjeldsen, Mikkel Kristian ; Brix, Sebastian
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2021
Antal sider
74
Resumé
Dette speciale undersøger, hvordan kontinuerte Schrödinger-operatorer kan approksimeres af deres diskrete modstykker på et kvadratisk gitter. Fokus er primært på Laplace-operatoren H0 = −Δ uden potentiale, de tilhørende diskrete operatorer på ℓ2(hZd) og de lineære operatorer Ph og P*h, som bygger på en Schwartz-funktion og forbinder det kontinuerte og det diskrete rum. Ved hjælp af Fourieranalyse, Parsevals formel og en række lemmer etableres hovedresultatet: i operatornormen er forskellen mellem den kontinuerte og den diskrete Schrödinger-operator begrænset af en konstant gange kvadratet på maskestørrelsen h. Specialet udvider dernæst analysen til flere andre elliptiske Schrödinger-operatorer, hvor tilsvarende konvergensresultater opnås med grænser, der afhænger af den specifikke operator. Endelig behandles Laplace-operatoren på den positive halvlinje med homogene Dirichlet- og Neumann-randbetingelser, hvor domænerne karakteriseres, og der undersøges, om et analogt konvergensresultat gælder; desuden diskuteres væsentlig selvadjungertethed for forskellige valg af domæne.
This thesis studies how continuous Schrödinger operators can be approximated by their discrete counterparts on a square lattice. The primary focus is the Laplace operator H0 = −Δ without potential, the associated discrete operators on ℓ2(hZd), and the linear maps Ph and P*h based on a Schwartz function that link the continuous and discrete spaces. Using Fourier analysis, Parseval’s identity, and several auxiliary lemmas, the main result is established: in operator norm, the difference between the continuous and discrete Schrödinger operators is bounded by a constant times the square of the mesh size h. The analysis is then extended to several other elliptic Schrödinger-type operators, where analogous convergence results are proved with bounds depending on the specific operator. Finally, the Laplace operator on the positive half-line with homogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions is treated, domains are characterized, and the validity of an analogous convergence result is examined; essential self-adjointness is also discussed for different domain choices.
[Dette resumé er genereret med hjælp fra AI direkte fra projektet (PDF)]
Emneord