Knudelinjen for en anden Dirichlet-egenfunktion over pæne områder af R^2
Oversat titel
Forfattere
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2007
Afleveret
2012-02-14
Abstract
Målet med denne rapport er at uddybe resultatet og bevisførelsen i artiklen "On the nodal line of the second eigenfunction of the Laplacian in R^2" af A. Melas. Heri bevises, at knudelinjen for en anden egenfunktion til Laplace-operatoren (over et konvekst, begrænset område med glat rand), skærer randen i præcist to punkter. Derfor gives en grundig indførsel af de aktuelle egenværdier, eksistensen af tilhørende egenfunktioner bevises, og regulariteten af disse egenfunktioner diskuteres. Ydermere indføres knudelinjen for egenfunktionerne, og dennes skæring med randen karakteriseres. Desuden bevises relevante maksimumsprincipper for visse elliptiske differential-operatorer, herunder en version af Hopfs randpunktslemma. Desuden gives et bevis for Courants knudelinjesætning, og Haymans sætning om indre radius. Afslutningsvist bevises hovedsætningen fra artiklen.