Gaussian Random Fields: Infinite, Improper and Intrinsic
Author
Hedegaard, Jakob Nebeling
Term
4. term
Education
Publication year
2019
Pages
70
Abstract
Specialet giver en samlet og tilgængelig behandling af Gaussiske stokastiske variabler og felter ud over den klassiske, ikke-degenererede ramme. Først forenes teorien for degenererede Gauss-fordelinger, som er begrænset til affine underrum, med standardteorien. Dernæst opbygges en omhyggelig ramme for Gaussiske mål på uendelige produktrum indekseret af heltalsgitre via en passende sigma-algebra og den tilhørende topologi, og Kolmogorovs konsistenssætning bruges til at definere Gaussiske processer gennem deres endeligt-dimensionale marginaler. Specialet præciserer også begreberne betingede fordelinger, regulære betingede fordelinger og deterministiske betingelser for at give mening til udsagn af typen P(X i A | Y = y) for stokastiske felter. På dette grundlag behandles betinget specifikation for Gaussiske (Markov) felter: hvordan modeller angives gennem lokale betingede fordelinger, hvornår sådanne specifikationer definerer et gyldigt Gaussisk felt, og hvordan middel- og kovariansfunktioner kan udledes; der gives yderligere resultater i homogene tilfælde. Endelig introduceres ikke-normaliserede (improper) Gauss-fordelinger og deres anvendelser motiveres, bl.a. som priorer der kan give proper posteriorer og i en simpel model for støjfyldte billeder, samt forbindelsen til intrinsiske stokastiske felter, herunder intrinsiske autoregressioner og intrinsisk prediktion. Fokus er på præcise definitioner og eksistensresultater frem for empiriske applikationer.
This thesis provides a unified and approachable treatment of Gaussian random variables and fields beyond the classical non-degenerate setting. It first reconciles the theory for degenerate Gaussian distributions constrained to affine subspaces with the standard framework. It then develops Gaussian measures on infinite product spaces indexed by integer lattices via a carefully chosen sigma-algebra and induced topology, using Kolmogorov’s consistency theorem to define Gaussian processes through their finite-dimensional marginals. The work clarifies conditional, regular conditional, and deterministic conditioning to make sense of statements like P(X in A | Y = y) for random fields. Building on this, it studies conditional specification for Gaussian (Markov) random fields: how to encode models via local conditional distributions, when such specifications define a valid Gaussian field, and how the mean and covariance can be recovered; additional results are given for homogeneous specifications. Finally, it introduces improper Gaussian measures and motivates their use, including as priors that yield proper posteriors and in a simple model for noisy images, and connects these ideas to intrinsic random fields, including intrinsic autoregressions and intrinsic prediction. The emphasis is on rigorous definitions and existence results rather than empirical applications.
[This summary has been generated with the help of AI directly from the project (PDF)]
Keywords
Documents