Classification of lower bounds on the minimum distance of cyclic codes
Translated title
Klassifikation af nedre grænser på minimumsafstanden af cykliske koder
Author
Madsen, Claus Jensby
Term
4. term
Education
Publication year
2010
Submitted on
2010-06-14
Pages
65
Abstract
Rapporten opstiller et samlet rammeværk for nedre grænser på minimumsafstanden af cykliske koder og klassificerer disse i to hovedtyper: rodgrænser, der kun afhænger af kodens definerende mængde og længde, og kantgrænser, der desuden bygger på de definerende mængder for cykliske subkoder. Indledningsvis introduceres centrale værktøjer som lineær kompleksitet, diskrete Fourier-transformationer og såkaldte singletons til at etablere rangnedre grænser for matricer med delvis kendt struktur. Inden for rodgrænser udvikles en generel ramme (bl.a. en maksimal rodgrænse og alternative formuleringer), hvori en række kendte BCH-lignende grænser placeres, herunder BCH-grænsen, Hartmann–Tzeng-grænsen, Bound A og flere Boston-grænser, ofte som særlige stærke rodgrænser. Rammen udvides til kantgrænser, hvor Schaub-grænsen, Singleton-procedure-grænsen og van Lint–Wilson-grænsen vises at høre hjemme; Schaub- og Singleton-grænserne påvises at være ækvivalente, og van Lint–Wilson-grænsen anvender samme uafhængighedstjek-procedure. Arbejdet giver dermed en samlet og sammenlignelig forståelse af kendte nedre grænser for cykliske koder.
The thesis presents a unified framework for lower bounds on the minimum distance of cyclic codes and classifies them into two main types: root bounds, which depend only on a code’s defining set and length, and border bounds, which additionally rely on the defining sets of cyclic subcodes. It begins by introducing key tools—linear complexity, discrete Fourier transforms, and so-called singletons—to derive rank lower bounds for partially specified matrices. Within the root-bound framework (including a maximal root bound and alternative formulations), several established BCH-like bounds are shown to fit, notably the BCH bound, the Hartmann–Tzeng bound, Bound A, and multiple Boston bounds, often as strong root bounds. The framework is extended to border bounds, encompassing the Schaub bound, the Singleton-procedure bound, and the van Lint–Wilson bound; the Schaub and Singleton bounds are shown to be equivalent, and the van Lint–Wilson bound uses the same independence-check procedure. Overall, the work provides a coherent and comparative view of known lower bounds for cyclic codes.
[This summary has been generated with the help of AI directly from the project (PDF)]
Keywords
Documents