Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger - Anvendt på tennisbold med topspin
Oversat titel
Approximation of solutions for systems of first order ordinary differential equations
Forfatter
Thomassen, Majbritt Sloth
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2014
Afleveret
2014-01-10
Antal sider
71
Abstract
Dette projekt undersøger, hvordan man kan beregne omtrentlige løsninger til systemer af ordinære differentialligninger af første orden – ligninger, der beskriver, hvordan flere størrelser ændrer sig, ofte over tid. Vi bruger trinvise numeriske metoder: Eulers metode, Forbedret Euler, Heuns metode og Runge–Kutta af orden fire (RK4). Kort fortalt giver disse metoder en opskrift på at gå fra et kendt punkt til det næste. Vi beviser desuden Peanos eksistenssætning og Osgoods entydighedssætning, som præciserer, hvornår løsninger findes, og hvornår de er entydige, under passende forudsætninger. Metodernes brug og effektivitet vises på eksempler, hvor den analytiske (generelle) løsning er kendt, så vi kan måle fejl og sammenligne nøjagtighed i forhold til regnearbejde. Derudover gennemfører vi numeriske eksperimenter for systematisk at sammenligne metoderne. Afslutningsvis gennemregnes et større eksempel, hvor vi numerisk beregner, hvordan en tennisbolds banekurve påvirkes, når bolden påføres topspin.
This project examines how to compute approximate solutions to systems of first-order ordinary differential equations—equations that describe how several quantities change, often over time. We use step-by-step numerical methods: Euler’s method, Improved Euler, Heun’s method, and the fourth-order Runge–Kutta method (RK4). In short, these methods provide a recipe for moving from one known point to the next. We also prove Peano’s existence theorem and Osgood’s uniqueness theorem, which specify when solutions exist and when they are unique, under appropriate conditions. The methods’ use and efficiency are illustrated on examples where the analytical (general) solution is known, allowing us to measure errors and compare accuracy against computational effort. We further perform numerical experiments to systematically compare the methods. Finally, we work through a larger example in which we numerically compute how a tennis ball’s trajectory is affected when topspin is applied.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]
Emneord