Analytisk perturbationsteori for matricer

Analytic perturbation theory for matrices

Andersen, Kenn Erik Markholm

4. semester

Matematik, Kandidat

2009

49

Afhandlingen undersøger, hvordan egenværdier ændrer sig for en lineær operatør på et endelig-dimensionelt komplekst vektorrum, når operatøren afhænger analytisk (som en potensrække) af en parameter. Fokus er på resolventen, (zI − T)^{-1}, og på resultantet, et polynomielt værktøj der viser, hvornår ligninger deler rødder. Vi opstiller og beviser centrale egenskaber ved resolventen, bruger dem til at finde og beskrive dens singulariteter (punkter hvor den bliver ubegrænset, svarende til egenværdier), og udleder en partialbrøksopløsning, der skriver resolventen som en sum af simple termer omkring hver egenværdi. Fordi den karakteristiske ligning her bliver et polynomium i to variable (den spektrale variabel og den eksterne parameter), samler og beviser afhandlingen resultater om polynomier for at kunne analysere den. For at formulere og bevise hovedsætningen om egenværdiers adfærd, når parameteren varierer, introduceres algebraiske funktioner—funktioner defineret implicit ved polynomielle relationer. Endelig defineres operatørnormen og bruges til estimater for resolventen, og der gives eksempler, der illustrerer teorien.

This thesis examines how the eigenvalues of a linear operator on a finite-dimensional complex vector space change when the operator depends analytically (like a power series) on a parameter. The study focuses on the resolvent, (zI − T)^{-1}, and on the resultant, a polynomial tool that detects when equations share roots. We state and prove key properties of the resolvent, use them to locate and describe its singularities (points where it becomes unbounded, corresponding to eigenvalues), and derive a partial fraction decomposition that expresses the resolvent as a sum of simple terms around each eigenvalue. Because the characteristic equation in this setting becomes a polynomial in two variables (the spectral variable and the external parameter), the thesis collects and proves results on polynomials to make it analyzable. To formulate and prove the main theorem about eigenvalue behavior as the parameter varies, we introduce algebraic functions—functions defined implicitly by polynomial relations. Finally, we define the operator norm and use it to obtain estimates for the resolvent, and provide examples that illustrate the theory.

[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]

Download
Vis denne rapport i AAU Studenterprojekter