3D Topology Optimization with Fatigue Constraints

Abstract

Denne afhandling omhandler formuleringen og udførelsen af strukturel optimering ved brug af topologioptimering i både to og tre dimensioner, for storskala optimeringsproblemer hvori der indgår mange design variable. Topologioptimering stræber efter at finde den optimale fordeling af materiale indenfor et givet domæne, for en given kostfunktion og underlagt bestemte begrænsninger. Her er målet at minimere massen af en struktur, som er begrænset af flydespændings- og/eller udmattelsesbetingelser. Første del af afhandlingen omhandler de generelle problemer som opstår når topologioptimering anvendes. Disse problemer som indeholder checkerboarding, netafhængige løsninger, minimum længde skala og sort/hvide strukturer, bliver illustrereret for den klassiske topologioptimerings formulering som omhandler minimering af fleksibiliteten underlagt en volumenbetingelse. Både flydespændings- og udmattelsesbetingelser er afhængige af spændingerne som opstår i en struktur når den er underlagt en belastning. Derfor omhandler anden del de specifikke udfordringer som opstår når der inkluderes spændingbetingelser i topologioptimering. Først bliver selve formuleringen af spændingerne undersøgt når de indgår i densitetbaseret topologioptimering, derefter bliver det velkendte problem med singulære optima fremhævet. Det singulære optima problem bliver heri løst ved at anvende qp-metoden. På grund af den lokale natur af spændingsbetingelser, og siden denne afhandling betragter storskala optimeringsproblemer, bliver de associerede beregningsmæssige konsekvenser fremhævet og løst ved brug af en aggregatfunktion. På baggrund af det førnævnte kan en flydespændingsbegrænsning formuleres ved brug af von Mises flydespændings kriterie. Foruden flydespændingsbetingelser formuleres også en betingelse baseret på udmattelse af strukturen. Udmattelse afhænger ligeledes af spændingerne i strukturen, derfor opstår mange af de samme problemstillinger som nævnt tidligere, og disse bliver løst med samme teknikker. Udmattelsesbetingelsen bliver formuleret på baggrund af antagelser om proportional belastning med en variable amplitude samt en struktur med elastisk deformation i høj cyklusdomænet. Belastningshistorien som strukturen er udsat for bliver reduceret til belastningscyklusser ved brug af rainflow counting. Hver af disse cyklusser skaber en multiaksial spændingstilstand i strukturen, denne tilstand bliver transformeret til en ækvivalent uniaksial spændings amplitude ved brug af Sines kriteriet og signed von Mises hvor der bliver taget højde for middelspændingseffekterne ved at anvende den modificerede Goodman ligning. Fra en ækvivalent uniaksial spændingsamplitude estimeres antallet af cyklusser indtil brud ved brug af Basquin kurven, og ved at anvende Palmgren-Miners lineære skadeshypotese bliver der opstillet en lokal udmattelses betingelse, som ligeledes flydespændingsbetingelsen bliver håndteret ved brug af en aggregatfunktion. Topologioptimering baseret på de opstillede betingelser bliver til sidst løst på en række standardproblemer i både 2D og 3D, som illustrerer de karakteristika der er ved udmattelsesbetingelser.

This thesis concern the formulation and execution of structural optimization by the use of topology optimization in both 2D and 3D, for large-scale optimization problems dependent on many variables. Topology optimization strives to find the optimal distribution of material for a specific domain, given an objective and subjected to a set of constraints. Here, the objective is to minimize the mass, while being subjected yield and/or fatigue constraints. First chapter of this thesis deals with the general issues of topology optimization. These issues that contain checkerboarding, mesh dependent solutions, minimum length scale and solid/void structures, are illustrated for the classic topology optimization formulation which seeks to minimize the compliance while being subjected to a volume constraint. Both the yield and fatigue constraints are dependent upon the stresses which occur in a structure subjected to loading. Thus, the second chapter considers the specific challenges associated with stress based constraints in topology optimization. Initially, the formulation of stress constraint within the context of density based topology optimization is examined, followed by well known issue of singular optima. The problem of singular optima is here solved using the qp approach. Due to the local nature of stress based constraints, and since this thesis is concerning large-scale optimization problems, will the associated computational consequences be addressed by employing an aggregate function. Based on the aforementioned is it possible to formulate a yield constraint, using the von Mises yield criterion. Besides the yield constraint, is a constraint based on the fatigue of the structure is also formulated. Like yielding, fatigue does depend on the stresses in the structure, thus the previous mentioned challenges are likewise relevant and solved with the same techniques. The fatigue constraint is formulated based on assumptions of proportional loading with a variable amplitude, as well as linear elastic deformation in the high cycle domain. The load history which the structure is subjected to, will be reduced to reversals using rainflow counting. Each of these reversals produces a multiaxial stress state in the structure, this state is transformed into an equivalent uniaxial amplitude stress with either the Sines criterion or signed von Mises where the mean stress effects are taken into account by using the modified Goodman equation. From this equivalent uniaxial amplitude stress, the number of cycles to failure is estimated using the Basquin curve. By employing Palmgren-Miners linear damage hypothesis a local damage constraint can be formulated, which like the yield constraint is handled by using an aggregate function. These Topology optimization formulations are lastly solved for a number of standard benchmark examples in both 2D and 3D which illustrates the characteristics of fatigue constraints.

A master thesis from Aalborg University

3D Topology Optimization with Fatigue Constraints