Singulær perturbationsteori for diskrete lineære operatorer
Oversat titel
Theory of singular perturbation of discrete linear operators
Forfatter
Lund, Niels
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2014
Afleveret
2014-05-23
Antal sider
49
Abstract
Denne afhandling præsenterer en enkel, matematisk model for den periodiske struktur i en todimensionel krystal, tænkt som et perfekt gitter med et atom i hvert gitterpunkt. Elektronernes bølgefunktioner beskrives i et Hilbertrum (et matematisk rum for mulige kvantetilstande). På dette rum defineres Hamilton-operatoren, som beskriver systemets energi; dens spektrum er de tilladte energiniveauer for elektronerne. Når et af atomerne udskiftes, opstår en defekt, og gitteret er ikke længere perfekt. I denne situation får Hamilton-operatoren, ud over de oprindelige energiniveauer, en isoleret, ikke-degenereret egenværdi. Isoleret betyder, at den ligger adskilt fra de øvrige energiniveauer, og ikke-degenereret betyder, at den svarer til en entydig kvantetilstand. Fysisk kan dette tolkes som en lokaliseret energitilstand bundet til defekten. Afhandlingen viser, at denne egenværdi er stabil under en magnetisk perturbation, det vil sige ved påføring af et svagt magnetfelt. Desuden kan ændringen i egenværdien beskrives ved en asymptotisk række i feltstyrken, hvilket giver en systematisk approksimation af, hvordan energiniveauet forskydes for små magnetfelter.
This thesis introduces a simple mathematical model of the periodic structure of a two-dimensional crystal, represented as a perfect lattice with one atom at each lattice point. The electrons’ wave functions are described in a Hilbert space (a mathematical space of possible quantum states). On this space, the Hamiltonian operator is defined to capture the system’s energy; its spectrum corresponds to the allowed energy levels of the electrons. Replacing one atom creates a defect, making the lattice imperfect. In this case, the Hamiltonian acquires, in addition to the original energy levels, an isolated, non-degenerate eigenvalue. Isolated means it is separated from the other energy levels, and non-degenerate means it corresponds to a unique quantum state. Physically, this can be viewed as a localized energy state bound to the defect. The thesis shows that this eigenvalue is stable under a magnetic perturbation, i.e., when a weak magnetic field is applied. Moreover, the change in this eigenvalue can be expressed as an asymptotic series in the field strength, providing a systematic approximation of how the energy level shifts for small magnetic fields.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]
Emneord