Givet en krystallografisk gruppe $G$, har vi en abelsk normal undergruppe $\Gamma$, bestående af translationer, en kvotient gruppe $G/V$, der er isomorf til den krystallografiske punktgruppe $G_0$ og en virkning $G_0$ på gitteret $\Gamma$. Lad $G_0$ afbilde $\Gamma$ ind i sig selv. Her vil de ordnede par $(G_0,\Gamma)$ bestemme en aritmetisk krystalklasse. Vi spørger efter de mulige krystallografiske grupper i $(G_0,\Gamma)$, hvorfor formålet med specialet er at introducere en metode til at finde de krystallografiske grupper i $(G_0,\Gamma)$, således vi kan finde de 230 krystallografiske grupper. Ifm. dette vil specialet introducere teori der præsenterer isometrier i det $n$-dimensionselle euklidiske rum, introducere de mulige krystallografiske punkgrupper som opfylder den krystallografiske restriktion. Gitteret $\Gamma$ og virkningen af en punktgruppe, der lader gitteret være invariant, samt definitionen af en krystallografisk gruppe.