Søgen Efter Funktionslegemer med Mange Rationelle Places

Studenteropgave: Speciale (inkl. HD afgangsprojekt)

  • Kasper Halbak Christensen
4. semester, Matematik, Kandidat (Kandidatuddannelse)
Det overordnede tema for dette projekt er algebraiske funktionslegemer. Mere specifikt er
der lagt fokus på at udlede en metode til at kategorisere funktionslegemer ved hjælp af
Gröbner baser med visse egenskaber.
Indledningsvist gennemgås noget generelt teori omkring kommutativ algebra,
algebraiske funktionslegemer og Gröbner baser, som der anvendes i projektet. Efter
dette introduceres begreberne ordens- og vægtfunktioner og velfungerende baser på en
algebra over et legeme. Det vises, at eksistensen ordensfunktioner og velfungerende
baser medfører eksistensen af hinanden. Dette bruges så til at stille nødvendige og
tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en vægt funktion ved hjælp af Gröbner baser
med specielle egenskaber. Det vises derefter, at eksistensen af en ikke-triviel vægtfunktion
på en algebra medfører, at brøklegemet for algebraen er et funktionslegeme, og omvendt.
Yderligere, gælder der i dette tilfælde, at vægtfunktionen kan udvides til en valuation og
at algebraen er en speciel type delalgebra af funktionslegemet. Dette betyder altså, at
ethvert funktionslegeme kan beskrives ved hjælp af Gröbner baser. Det vises, hvordan
disse Gröbner baser kan konstrueres, og der gives en måde at tælle antallet af rationelle
places af et funktionslegeme, hvis Gröbner basis konstruktionen er givet.
I sidste kapitel udføres eksperimenter som gør brug af teorien der er vist i projektet.
Resultaterne bruges blandt andet til at lede efter funktionslegmer som der har så mangle
rationelle places som muligt, givet forskellige parametre for funktionslegemet. For at
vurdere dataen bruges Geil-Matsumoto grænsen, Hasse-Weil grænsen og Serre grænsen.
SprogEngelsk
Udgivelsesdato9 jun. 2017
Antal sider59
ID: 259448958