Det generelle formål med denne specialeafhandling er at konstruere protokoller til sikkert distribueret beregninger ved brug af secret sharing ordninger baseret på lineære koder i endelige legemer, heriblandt en udvidet udgave af Masseys secret sharing. Specialet starter med en introduktion af secret sharing ordninger generelt, efterfulgt af to konstruktion af lineære secret sharing ordninger baseret på lineære koder. En secret sharing ordning opdeler en hemmelighed i flere delinger, således at visse delmængder af disse delinger kan rekonstruere hemmeligheden. Motivationen for at betragte disse typer af secret sharing ordninger er at kunne bruge teoretiske kodnings begreber til rekonstruktion i ordningerne, altså korrektion af sletning og fejl. Denne form for rekonstruktion i disse ordninger gennemgås sideløbende med sikkerheden af en secret sharing ordning.

Herefter introduceres sikkert distribueret beregninger, som er en beregning af en offentlig funktion afhængig af privat data uden at noget information om de private data lækker. Der gives desuden en aktivt sikker protokol for funktioner bestående af addition og skalar multiplikation ved brug af lineære secret sharing ordninger. Det bevises, vha. Lagrange interpolation, at enhver funktion i et endeligt legeme er ækvivalent med et polynomium af grad mindre end antallet af elementer i legemet. Altså, kan enhver funktion i et endeligt legeme løses med blot addition og multiplikation. Derfor introduceres multiplikative secret sharing ordninger, for hvilke produktet af hemmeligheders delinger kan rekonstruere produktet af de tilsvarende hemmeligheder. Ved brug af denne egenskab præsenteres en passivt sikker protokol for alle funktioner ved brug af multiplkative secret sharing ordninger.

Da det at finde en multiplikativ secret sharing ordning kan være besværligt, gennemgås der for kodetyperne Reed-Solomon og Reed-Muller, hvornår de udvidede Massey secret sharing ordninger baseret på disse koder er multiplikative. For Reed-Solomon koder bevises det, at hvis dimensionen af koden er under en hvis grænse, så vil secret sharing ordningen være multiplikativ. For Reed-Muller koder bevises det, hvilke koder er selv-ortogonale, hvilket det bevises, at hvis en kode er selv-ortogonal, så er Masseys secret sharing ordning, som er baseret på koden, multiplikativ. For begge kodetyper vises ligeledes deres tilhørende rekombinations matricer.

For aktivt sikkert distribueret beregninger, der bygger på secret sharing ordninger, introduceres en distribution af delinger i en secret sharing ordning, hvor alle deltager i secret sharing ordningen er i stand til at verificere de delinger, som de modtager. Med denne distribution af delinger præsenteres også en aktivt sikker protokol for alle funktioner ved brug af stærk multiplikative secret sharing ordninger.

Slutteligt reduceres mængden af kommunikation mellem deltagerne i en sikker distribueret beregning ved at bruge en tungere definition af multiplikative secret sharing ordninger. Med denne definition introduceres en passivt sikker protokol for alle funktioner ved brug af secret sharing ordninger, der opfylder denne tungere definition af multiplkativ. Denne protokol tillader gruppering af flere multiplikationer, hvilket reducerer mængden af gange, som deltagerne behøver at kommunikere. Der gives ligeledes en kodetype, som konstrueres ud fra binære Reed-Muller koder. For denne kodetype vises der, at ved visse valg, kan koderne bruges til en secret sharing ordning, som opfylder denne tungere definition af multiplikativ. Det vises desuden også, hvordan man finder disse valg.