Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en Gabor frame for et Hilbertrum/Konstruktion af en kontinuert frame som alternativ til diskontinuert basis for et endeligdimensionalt vektorrum
Oversat titel
Necessary and sufficient conditions for a Gabor frame for a Hilbert space/Construction of a continuous frame as an alternative to discontinuous basis for a finite-dimensional vector space
Forfatter
Offersen, Kenneth Vanman
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2018
Afleveret
2018-01-10
Resumé
Specialet omhandler frames i Hilbertrum og er opdelt i to dele. Del I giver en introduktion til Gabor-systemer og gennemgår nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at der eksisterer en Gabor-frame for L2(R), herunder centrale begreber som translations- og modulationsoperatorer og rammerne for ikke-ortogonale udvidelser. Del II udgør forfatterens bidrag og behandler C2, hvor der konstrueres et underrum V, som varierer kontinuert med to parametre, mens enhver basis for V varierer diskontinuert. Dette demonstrerer, at der kan optræde endeligdimensionale vektorrum i en parameterfamilie, hvor ønsket om kontinuert varierende baser ikke kan opfyldes. Som alternativ viser specialet, at der under visse betingelser kan konstrueres en frame for V, som varierer kontinuert, ved hjælp af projektioner og projektionsmatricer. Samlet set motiverer resultaterne brugen af frames som et fleksibelt redskab, når kontinuitetskrav ikke kan opfyldes med baser.
This thesis studies frames in Hilbert spaces and is divided into two parts. Part I introduces Gabor systems and presents necessary and sufficient conditions for the existence of a Gabor frame for L2(R), including key tools such as translation and modulation operators and the setting for non-orthogonal expansions. Part II contains the author’s contribution and focuses on C2, where a subspace V is constructed that depends continuously on two parameters, while any basis for V varies discontinuously. This demonstrates the emergence of finite-dimensional vector spaces within a parameterized family for which no continuously varying basis exists. As an alternative, the thesis shows that, under certain conditions, a frame for V can be constructed that varies continuously, using projections and projection matrices. Overall, the results motivate the use of frames as a flexible tool when continuity requirements cannot be met with bases.
[Dette resumé er genereret med hjælp fra AI direkte fra projektet (PDF)]