'Konstruktion af tight multiwaveletframes'
Forfattere
Jensen, Linda Østervig ; Larsen, Helene Pilgaard ; Laursen, Hanne Lyngby
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2006
Abstract
Wavelets er værktøjer til at analysere funktioner og signaler på flere skalaniveauer. I denne afhandling arbejder vi med rammer, som er en fleksibel generalisering af basiser; de kan være redundante, og når de er stramme, giver de enkel og stabil rekonstruktion. Vi undersøger stramme multiwavelet-rammer, hvor flere wavelets bruges sammen, for L^2(R) – rummet af kvadratintegrerbare funktioner på den reelle linje. Udgangspunktet er klassisk multiresolutionsanalyse for ortonormale waveletbaser, som vi udvider til en ramme-multiresolutionsanalyse (FMRA). Denne FMRA giver en systematisk måde at konstruere wavelet-rammer på og er beregningsmæssigt attraktiv. Vi præsenterer og beviser to principper, der integrerer FMRA: det unitariske udvidelsesprincip (Unitary Extension Principle, UEP) og det skrå udvidelsesprincip (Oblique Extension Principle, OEP). Stramme multiwavelet-rammer konstrueret via disse principper bevarer de beregningsmæssige fordele fra multiresolutionsanalyse. Vi viser, at UEP-baserede konstruktioner har visse begrænsninger, blandt andet i den approksimationsorden, dvs. hvor godt grove skala-repræsentationer kan nærme sig glatte funktioner. OEP-baserede rammer kan opnå en større approksimationsorden end UEP-baserede. Fordelen ved OEP illustreres med et eksempel baseret på B-splines.
Wavelets are tools for analyzing functions and signals across multiple scales. This thesis studies frames, a flexible generalization of bases that allows redundancy; when a frame is tight, reconstruction is simple and stable. We focus on tight multiwavelet frames, which use several wavelets together, for L^2(R), the space of square-integrable functions on the real line. Inspired by classic multiresolution analysis (MRA) for orthonormal wavelet bases, we develop a frame multiresolution analysis (FMRA) that provides a systematic way to construct wavelet frames and is attractive computationally. Within this FMRA framework, we present and prove two construction principles: the Unitary Extension Principle (UEP) and the Oblique Extension Principle (OEP). Tight multiwavelet frames built via these principles retain the computational advantages of MRA. We show that UEP-based constructions have restrictions, including limits on the approximation order—how well coarse-scale representations approximate smooth functions. In contrast, OEP-based constructions can achieve a higher approximation order. We illustrate this advantage with an example based on B-splines.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]