Keeping it real: Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit
Oversat titel
Keeping it real
Forfattere
Lund, Rikke Bod ; Andersen, Pernille
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2018
Afleveret
2018-01-10
Antal sider
69
Abstract
Dette speciale viser, hvordan man kan bygge mængden af de reelle tal ud fra mere grundlæggende tal. To veje følges. Først en decimal-baseret konstruktion: Man starter med heltal og deres regneregler, udvider disse til endelige decimaltal og når derfra alle reelle tal ved at bruge konvergente følger af endelige decimaltal (følger, der nærmer sig en bestemt værdi). Dernæst en konstruktion via Dedekind-snit, hvor hvert reelt tal beskrives ved en opdeling af de rationelle tal i to mængder, som præcist indfanger tallets placering. Det bevises, at de reelle tal danner et ordnet legeme med supremumsegenskaben: Regneoperationerne opfører sig som forventet, der er en ordning af tallene, og enhver ikke-tom, opadtil begrænset mængde har en mindste øvre grænse. De rationelle tal indlejres som et dellegeme. Til sidst sammenlignes de to tilgange og vises at være ækvivalente: Den første konstruktion har de samme egenskaber, og der findes en isomorfi mellem de to (en entydig, strukturbevarende sammenhæng).
This thesis shows how to build the real numbers from more basic numbers, using two routes. First, a decimal-based construction: start from integers and their arithmetic, extend to finite decimal numbers, and then reach all real numbers by using convergent sequences of finite decimals (sequences that get closer and closer to a specific value). Second, a construction via Dedekind cuts, where each real number is represented by a partition of the rational numbers into two sets that precisely capture the number’s position. It is proved that the real numbers form an ordered field with the supremum property: arithmetic works as expected, there is an order, and every non-empty set with an upper bound has a least upper bound. The rational numbers are included as a subfield. Finally, the two approaches are compared and shown to be equivalent: the first construction has the same properties, and there is an isomorphism between them (a one-to-one, structure-preserving correspondence).
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]
Emneord