Gröbnerbaser og eksistens af ordensfunktioner
Oversat titel
Gröbner Bases and Existence of Order Functions
Forfatter
Kristensen, Bodil Krongaard
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2010
Antal sider
85
Abstract
Dette speciale gør Ruud Pellikaanes artikel On the existence of order functions tilgængelig og gennemgår den nødvendige baggrund i Gröbnerbasisteori og evalueringskoder. Hovedresultatet er et bevis for eksistensen af ordensfunktioner. Det giver en ordensgrænse for minimumsafstanden og muliggør en dekodningsalgoritme for evalueringskoder. Beviset bygger på centrale værktøjer i polynomiel algebra: Dicksons lemma, Hilberts basissætning, Buchbergers kriterium og Buchbergers algoritme, som tilsammen udgør grundlaget for Gröbnerbasisteori. Specialet introducerer evalueringskoder (koder dannet ved at evaluere polynomier i udvalgte punkter) og forklarer kort algebraisk geometrikoder. Minimumsafstand beskrives som et mål for, hvor mange fejl en kode kan opdage eller rette. Afslutningsvis præsenteres hovedsætningen om eksistens af ordensfunktioner, og resultaterne illustreres med klassiske eksempler som Reed–Solomon- og Reed–Muller-koder.
This thesis makes Ruud Pellikaan’s article On the existence of order functions accessible and reviews the necessary background in Gröbner basis theory and evaluation codes. The main result is a proof of the existence of order functions. This yields an order bound for the minimum distance and enables a decoding algorithm for evaluation codes. The proof uses core tools from polynomial algebra: Dickson’s lemma, Hilbert’s basis theorem, Buchberger’s criterion, and Buchberger’s algorithm, which together form the foundation of Gröbner basis theory. The thesis introduces evaluation codes (codes built by evaluating polynomials at selected points) and briefly explains algebraic geometry codes. Minimum distance is described as a measure of how many errors a code can detect or correct. Finally, it presents the main theorem on the existence of order functions and illustrates the results with classical examples such as Reed–Solomon and Reed–Muller codes.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]