Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer
Oversat titel
Analytical Perturbation Theory for Linear Operators
Forfatter
Kristensen, Mette
Semester
4. semester
Uddannelse
Udgivelsesår
2009
Antal sider
71
Abstract
I kvantemekanik beskrives energien i et system af spektret for dets Hamiltonoperator – det vil sige den mængde energiværdier, som operatoren tillader. Hamiltonoperatoren er selvadjungeret, så energiværdierne er reelle. Denne rapport fokuserer på kompakte operatorer, hvor spektret består kun af egenværdier; det svarer til systemer med diskrete energiniveauer. I mange realistiske tilfælde kan man ikke udregne egenværdierne præcist, og derfor bruger man perturbationsteori til at lave tilnærmelser. Rapporten undersøger, hvordan perturbationsteori kan bruges til at approksimere ikke-degenererede egenværdier (altså enkeltstående energiniveauer) for en kompakt Hamiltonoperator. Udgangspunktet er en Hamiltonoperator, hvis egenværdier og egenvektorer er kendte. Den perturberes ved at lægge en kompakt, selvadjungeret operator V til. Det vises, at hvis normen af V er tilstrækkeligt lille, har den perturberede operator egenværdier tæt på de oprindelige, og disse kan bestemmes ved hjælp af Feshbachs formel, som også introduceres i rapporten.
In quantum mechanics, a system’s energy is described by the spectrum of its Hamilton operator—the set of allowed energy values. The Hamilton operator is self-adjoint, so these energies are real. This report focuses on compact operators, whose spectra consist only of eigenvalues; this corresponds to systems with discrete energy levels. In many realistic cases, the eigenvalues cannot be found exactly, so perturbation theory is used to obtain approximations. The report studies how perturbation theory can approximate non-degenerate eigenvalues (that is, single, non-repeated energy levels) of a compact Hamilton operator. It starts from a Hamilton operator with known eigenvalues and eigenvectors and perturbs it by adding a compact, self-adjoint operator V. It is shown that if the norm of V is sufficiently small, the perturbed operator has eigenvalues close to the original ones, and these can be determined using Feshbach’s formula, which is also introduced in the report.
[Dette resumé er genereret ved hjælp af AI]